注重數(shù)學(xué)思想方法 提高學(xué)生解題能力
瀘縣二中城西學(xué)校 曹利均
【內(nèi)容摘要】：
初中總復(fù)習(xí)，有些大搞題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生知識機(jī)械性的模仿，只要條件稍微改變就不知所措，不能形成較強(qiáng)的解題能力，久而久之，就會對學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼和厭煩的情緒。原因在于沒有真正的領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法，未能從中掌握關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的知識，并使這種“知識”消化吸收成具有“個性”的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動的習(xí)慣。
【關(guān)鍵詞】：分類討論 轉(zhuǎn)化思想 數(shù)形結(jié)合 方程、函數(shù)思想
在當(dāng)前初中總復(fù)習(xí)階段，許多學(xué)生整天埋頭于題海，認(rèn)為“不進(jìn)題海難攻題”。但往往產(chǎn)生這樣的困惑：題目做得不少，當(dāng)總停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微改變就不知所措，不能形成較強(qiáng)的解題能力，久而久之，就會對學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼和厭煩的情緒.究其原因是學(xué)生沒有真正的領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法，未能從中掌握關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的知識，并使這種“知識”消化吸收成具有“個性”的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動的習(xí)慣。在復(fù)習(xí)過程中，對具有強(qiáng)大統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉，并通過反思指導(dǎo)實踐，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想方法是解題的靈魂，達(dá)到徹底理解所學(xué)知識，提高分析問題和解決問題的能力的目的。
初中階段經(jīng)常運用的數(shù)學(xué)思想方法有：分類思想、轉(zhuǎn)化思想（又稱轉(zhuǎn)換思想或化歸思想）、數(shù)學(xué)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想（從代數(shù)角度滲透數(shù)形結(jié)合，從幾何角度滲透形數(shù)結(jié)合）、方程思想、函數(shù)思想等，這些是初中階段重點考查的數(shù)學(xué)思想方法，突出這些數(shù)學(xué)基本思想方法就相當(dāng)于抓住中學(xué)數(shù)學(xué)知識的精髓。
- 分類討論的思想
在解決問題時，往往并沒有明確地把“分類法”表述出來，這就需要學(xué)生用心體會，才能領(lǐng)悟到，但這不是所有學(xué)生都能做到的。在解題過程中,當(dāng)條件或結(jié)論不唯一時,會產(chǎn)生幾種可能性,就需要分類討論。這就需要教師對教材下一番改造制作的功夫，教師可以進(jìn)一步要求學(xué)生表述他們對分類的理解，以及說一說為什么這樣分類？通過交流數(shù)學(xué)思考及時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分類法。
例：等腰三角形的邊長分別為2和9，求此三角形的周長。
分析：此題中沒有指明邊長分別為2和9中的邊是腰還是底邊，因此要分2為腰或是底邊，同時還要考慮以這些長度能否組成三角形。
例:已知關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸總有交點，求的取值范圍。
分析:由于題中未指明函數(shù)的次數(shù)，所以可分為一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情形討論。
當(dāng),即時,函數(shù)為一次函數(shù),顯然與軸總有一個交點;
當(dāng)時,函數(shù)為二次函數(shù),應(yīng)滿足即,解得,且.
綜合上述情形,得.
- 轉(zhuǎn)化思想
解二元一次方程組的思想是消元，轉(zhuǎn)化成一元方程；解一元二次方程的思想是降次，轉(zhuǎn)化成一次方程。因此我們就可以把多元高次方程組通過消元、降次轉(zhuǎn)變成一元一次方程來解，就是運用化歸思想方法產(chǎn)生出來的。
在初中數(shù)學(xué)中，分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程、高次方程可轉(zhuǎn)化為低次方程、由點坐標(biāo)確定函數(shù)的解析式可轉(zhuǎn)化為解方程(組)、確定自變量的取值范圍可轉(zhuǎn)化為解不等式(組)、幾何中線段的比之間的轉(zhuǎn)化、角的度數(shù)與線段比之間的轉(zhuǎn)化等等，可以說轉(zhuǎn)化思想無處不在，運用轉(zhuǎn)化可以化繁為簡、化抽象為具體、化無序為有序。
例:解方程：
分析：在解方程時要先確定最簡公分母，把各分母按未知數(shù)的降冪排列，并分解因式來確定公分母為，方程兩邊同乘以，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解。
- 數(shù)學(xué)模型思想
方程、函數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學(xué)模型。在建立數(shù)學(xué)模型時根據(jù)問題的特征和目的，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)知識來刻畫變量之間的數(shù)量關(guān)系，建立其相對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是靈活綜合地運用數(shù)學(xué)知識來處理和解決實際問題，建模思想強(qiáng)調(diào)的就是在解決這類數(shù)學(xué)問題時，要有數(shù)學(xué)建模的自覺意識或觀點，這實際上就是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識。
4、數(shù)形結(jié)合思想
“數(shù)”與“形” ，是數(shù)學(xué)研究的對象，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。若能把“數(shù)”與“形”很好地結(jié)合起來，那么一些看似復(fù)雜的問題就會迎刃而解。使解題手段從“單一”走向“靈活”，體會到數(shù)學(xué)之美，從而感嘆數(shù)學(xué)之精妙。
在解題時,如果我們有意識地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以使思維過程中的數(shù)學(xué)形象思維和邏輯思維交織在一起展開，他們互相滲透、互相啟發(fā)，使我們的思維方向朝著不同的角度、不同的方向轉(zhuǎn)化，并得以升華.
例：如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
解析：由于點在反比例函數(shù)的圖象上，所以，即反比例函數(shù)的解析式為.點在反比例函數(shù)的圖象上，所以，即點坐標(biāo)為(1,-6) .
又由于點A、B兩點都在一次函數(shù)的圖象上，所以，解得.即一次函數(shù)的解析式是.
由圖象易知，當(dāng)或時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.
關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性易于發(fā)現(xiàn)解題思路，尋找解題途徑；能避免復(fù)雜的計算和推理簡化解題過程，從而直接得出結(jié)果；能提供一種檢驗解答結(jié)果是否正確的方法。
5、方程思想
許多數(shù)學(xué)問題的解決都離不開方程,例如函數(shù)表達(dá)式或方程中未知數(shù)的確定,幾何中邊長、角度、面積的求解、應(yīng)用題等，都可以通過尋找已知量與未知量之間的相等關(guān)系，適當(dāng)設(shè)元，列出方程或方程組，從而解決問題。
6、函數(shù)的思想
函數(shù)所揭示的是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，就是一個量的變化引起了另一量的變化.在數(shù)學(xué)中總是設(shè)法將這種對應(yīng)關(guān)系用解析式、圖象、或表格表示出來，這樣可充分運用函數(shù)的知識、方法解決問題.
例：（2008瀘州八年級抽考）一艘輪船和一艘快艇沿相同航線從甲港出發(fā)到乙港，其行駛過程中行程（千米）隨時間（時）變化的圖象所示，
根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）請分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）輪船和快艇各用了幾小時到達(dá)乙港？（3）問快艇出發(fā)多長時間趕上輪船？
本題較好地考查了學(xué)生建立描述實際問題的函數(shù)或方程組，再利用函數(shù)或方程組解決實際問題的能力。（1）小題可以考查學(xué)生運用待定系數(shù)法，通過解方程組求得函數(shù)表達(dá)式的能力；（2）小題考查了學(xué)生從函數(shù)表達(dá)式出發(fā)，利用函數(shù)圖象解決實際問題的能力。
7、類比的思想
類比是一種重要的思維形式.復(fù)習(xí)中,注重類比的思想,可以提高解題的能力,起到事半功倍的效果.例如,把分式的基本性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比,把小學(xué)學(xué)到的分?jǐn)?shù)的通分、約分、分?jǐn)?shù)的四則運算與分式的通分、約分、分式的四則運算進(jìn)行類比,從而更好的掌握分式的運算。
當(dāng)前，有些大搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，以此謀求所謂高分。不可否認(rèn)，這種做法對培養(yǎng)學(xué)生模仿能力、記憶能力上有一定作用，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)練習(xí)，固然能掌握一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識，但由于學(xué)生的思維是在固定模式中機(jī)械地反復(fù)運動，容易形成思維上的惰性，從而導(dǎo)致思維“功能的僵化”，學(xué)習(xí)缺少主動性，缺乏判斷力和獨立思考能力，思想方法沒有得到應(yīng)有的提高，創(chuàng)新能力得不到應(yīng)有的培養(yǎng)，學(xué)生在一旦條件、結(jié)論發(fā)生變化時，不知所措，一籌莫展，這種得不償失的做法 。
教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生，組織學(xué)生積極參與教學(xué)過程，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下逐步領(lǐng)悟、形成、理解數(shù)學(xué)思想方法,充分地使學(xué)生展示自己的思維能力和想象能力，盡可能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)知識，一旦學(xué)生感覺到自己真正在參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動，那么，學(xué)生對學(xué)習(xí)的興趣愿望、積極性及學(xué)習(xí)效果就容易產(chǎn)生飛躍 。
